Distribution Normale Centrée Réduite et Score Z

Apprendre à calculer des probabilités dans la distribution normale grâce au score z et à la table des quantile

Présentation de la distribution normale et du score z

La distribution normale est une distribution de probabilité que l'on utilise très souvent en psychologie quantitative. Elle décrit la distribution d'un certain nombre de variables continues telle que le QI, le temps de réaction, les scores de personnalité ou encore le niveau d'anxiété. On la rencontre donc dans de nombreuse applications pratiques et c'est pourquoi on l'utilise si souvent. La distribution normale est caractérisée par deux paramètres qui lui donne sa forme caractéristique: la moyenne μ et l'écart-type σ. Lorsqu'une variable aléatoire X se distribue normalement, on note: X~N(μ,σ) ce qui signifie: la variable aléatoier X suit une loi normale de parametre mu et sigma. Chaque distribution normale est unique selon ces deux paramètres. Le calcul du score Z est une transformation qui consiste à centrer les valeurs de X sur 0 et à réduire son écart type à 1. Les valeurs de Z suivent alors une distribution normale dite centrée réduite: Z~N(0, 1).

Pourquoi utiliser le score z

Le score z permet de calculer la probabilité cumulée de toutes les distributions normales, quelle que soit sa forme. Le score Z en effet est une variable X transformée qui permet de rapporter toute les les distribution normale particulière à une seule distribution centrée réduite. La vérité est que l'on utilise plus aujourd'hui le score Z pour calculer des probabilité d'une variable aléatoir en passant par une table. Nos ordinateur sont capable aujoudh'hui de faire le calcul directement.  Le calcul du score Z répondait surtout à la nécessité de calculer des proabilité à une époque ou le temps de calcul était considérable et coutait cher. Plutot que de calculer les probabilité à chaque fois qu'on rencontrait un nouveau problème, on avait choisi de les calculer une seule fois et d'imprimer les résultats dans une table. C'est la l'origine de la table des quantiles. Plus personne ne l'utilise aujourd'hui. On continue a s'en servire cependant dans un cadre pédagogique car elle permet à l'étudiant de comprendre les notions qui lui seront utile pour comprendre la notion de distribution de probabilité.

A qui s'adresse ce document

Ce document s'adresse aux étudiants du Bachelor en Psychologie à UniDistance FernUni Schweiz. La distribution normale est le fondement de la plupart des tests paramétriques enseignés dans ce cursus. La maîtrise du score z est une compétence préalable aux tests t de Student, aux intervalles de confiance et aux analyses de régression. Il s'agit donc d'un sujet central dans le cursus UniDistance aussi bien que dans toutes formations sérieuses au sujet des statistiques. A UniDistance, les modules statistiques représentent 29 à 30 ECTS et constitue souvent un point d'accroche. Comprendre la logique de la distribution normale est donc une étape importante du cursus.

Prérequis

Pour aborder ces exercices, l'étudiant doit maîtriser les notions de moyenne (μ) et d'écart-type (σ). Une représentation intuitive de la courbe en cloche est suffisante. aucun calcul d'intégrale n'est requis. La seule opération technique est la transformation z = (x − μ) / σ et son inverse x = μ + z × σ. La lecture d'une table des probabilités cumulées de la loi normale standard est la compétence centrale visée par ces exercices. Seules les notions de l'algèbre élémentaire sont nécessaire pour aborder ce cours et les exercices.

Questions courantes FAQ

Pourquoi passer par la distribution centrée réduite N(0, 1) ?

Il existe une infinité de distributions normales, chacune définie par ses propres valeur de mu μ et sigma σ. La distribution centrée réduite N(0, 1) elle aussi est une distribution normale. Ses valeur de mu et sigma cependant sont particulilère. Dans une distribution normale centrée réduite en effet les valeur des paramètre mu et sigma sont: μ = 0, σ = 1.  la distribution centrée réduite est unique. Une seule table de probabilités suffit donc pour lire les probabilités cumulées de toutes les distributions normales. 

Comment lire une probabilité dans la table de la loi normale ?

La table donne la probabilité cumulée à gauche d'une valeur de z. On note cette probabilité P(Z ≤ z) et on dit: Probabilité que la valeur de la variable aléatoir Z prenne une valeur plus petite ou égale à la valeur particulière z. Pour lire P(Z ≤ 1.23) par exemple, on cherchera la ligne 1.2 et la colonne 0.03 : on trouve 0.8907. Cela signifie que 89.07 % des valeurs de la distribution sont inférieures à z = 1.23. Pour des valeurs négatives, on utilise la propriété de symétrie : P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z).

Comment calculer P(X > x) à partir de la table ?

La table donne la probabilité cumulée P(Z ≤ z)  à gauche de z. Pour obtenir la probabilité P(Z > z) à droite de z, on utilise la probabilité complémentaire: La somme de toute les probabilités en effet étant égale à 1, on peut écrire l'égalité suivante: P(Z > z) = 1 − P(Z ≤ z). Si P(Z ≤ 1.5) = 0.9332, alors P(Z > 1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668. Ce réflexe de est l'une des raison pour laquelle on encourage les étudiants.es à travailler avec la table: elle permet de développer le raisonnement propre à l'utilisation des distributions normales.

Que signifie la propriété de symétrie de la loi normale ?

La distribution normale est symétrique autour de sa moyenne. Pour tout z, P(Z ≤ −z) = P(Z ≥ z) = 1 − P(Z ≤ z). Cette symétrie permet de déduire les probabilités pour les valeurs négatives à partir des probabilités des valeurs positives. Certaine table se présentent sous la forme de deux colonnes, l'une indiquant la probabilité à gauche d'une valeur de z et l'autre colonne indiquant la probabilité à droite. Dans ces tables, les deux colonnes s'additionnent à 1. Pour cette raison, ces tables sont redondantes. D'autres tables telle que celle proposée ici sont plus compact ne donne que la probabilité à gauche, invitant l'utilisateur à déduire l'aire à droite. Ces tables commence en milieu de distribution (en z=0) là ou la probabilité cumulée est la moitié (1/2) de la probabilité totale. Ces tables commencent donc typiquement a une probabilité égale à 0.5.

Pourquoi ce calcul manuel n'est-il plus utilisé en pratique ?

Les logiciels statistiques — JASP, R, SPSS — calculent directement les probabilités pour n'importe quelle distribution normale sans passer par la transformation z. La table de la loi normale standard est un outil de l'ère pré-informatique. Son utilisation dans ce document est exclusivement pédagogique : elle oblige à poser explicitement les propriétés de la distribution et à raisonner sur les probabilités complémentaires, la symétrie et l'aire sous la courbe.