Introduction à la Loi Normale et à la Table des Quantiles

Comprendre comment lire la table des quantile pour calculer les probabilités suivant une loi normale.

Présentation

La loi normale, dite aussi distribution de Laplace-Gauss, est un modèle mathématique qui décrit la répartition de valeurs aléatoire autour d'une valeur centrale. On la rencontre dans de nombreuses situations en biologie, physiologie, psychologie ou encore en économie. La loi normale apparaît lorsque le phénomène observé résulte de la somme de nombreuses contributions indépendantes. Cette additivité se traduit par une propriété mathématique intéressante: la somme de deux distributions normales est toujours une distribution normale.

Pourquoi utiliser la Loi Normale

La loi normale permet de répondre à la question suivante: quelle est la probabilité de faire une certaine observation? On peut se demander par exemple, quelle est la probabilité de rencontrer une personne de moins de 35 ans en suisse. Quelle est la probabilité de rencontrer une personne de plus de 80 kg au Japon etc. Calculer cette probabilité revient à calculer l'aire sous la courbe de la distribution. La table des quantiles permet de faire cela justement. Elle contient toute les probabilités précalculées de la distribution normale standard. On peut rapporter toutes les distribution normale à la distribution centrée réduite par transformation de la variable x à la variable z.

A qui s'adresse ce document

Ce document s'adresse à tous les étudiants de Bachelor 1 qui rencontre la loi normale pour la première fois, quelle que soit sa filière. La loi normale est un outil général : elle apparaît dans les cursus de psychologie, de gestion, d'économie, de biologie et de sciences sociales. L'intuition qu'elle développe est une compétence fondamentale pour tout raisonnement quantitatif à l'université. Ce document constitue donc un point de départ pour toute personne souhaitant développer une intuition sur ce sujet.

Ce que contient ce document

Le document présente les propriétés fondamentales de la loi normale et le rôle que joue ses deux paramètres, μ et σ. Il explique comment ramener toutes distribution normale à la distribution standard N(0,1) (comment centrer-réduire). Dans ce document, la démarche qui consiste à lire la table des quantiles est expliquée pas à pas. Des exemples numériques résolus dans les détails accompagnent l'explication afin de permettre à l'étudiant.e de se familiariser avec l'utilisation de la table des quantiles.

Prérequis nécessaire pour comprendre ce document

Le niveau requis pour lire ce document est celui du gymnase ou équivalent. Aucune connaissance préalable en statistiques n'est nécessaire. Il suffit de savoir manipuler des fractions, comprendre la notion de moyenne arithmétique et lire un tableau numérique. La notion de variable aléatoire est introduite dans le document avant d'être utilisée. Aucun logiciel n'est requis : tous les calculs sont conduits à la main, avec la table des quantiles comme seul outil.

Questions courantes FAQ

Qu'est-ce qu'une distribution de probabilité ?

Une distribution de probabilité est un modèle mathématique qui décrit l'ensemble des valeurs que peut prendre une variable aléatoire et la probabilité qui leur est associée. La loi normale est une distribution continue : elle attribue une probabilité à tout intervalle de valeurs, non à une valeur isolée. La probabilité totale sous la courbe est toujours égale à 1.

Que sont les paramètres μ et σ de la loi normale ?

Le paramètre μ (mu) donne la position de la distribution. elle indique où se situe le centre de la courbe. Il s'agit de la moyenne. Le paramètre σ (sigma) est l'écart-type : il mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Un σ petit produit une courbe étroite alors qu' un grand σ produit une courbe large. Ces deux paramètres suffisent à définir une distribution normale complètement.

Qu'est-ce que centrer-réduire et pourquoi en a-t-on besoin ?

Le processus de centrer-réduire transforme une variable X de distribution N(μ, σ²) en une variable Z de distribution N(0,1), par la formule Z = (X − μ) / σ. Cette transformation est nécessaire pour pouvoir utiliser la table des quantile unique. Sans cette transformation, (centrer puis réduire) il faudrait une table des quantiles pour chaque variable X possible, ce qui est infaisable en pratique.

Comment lire la table des quantiles ?

La table des quantiles donne la probabilité P(Z ≤ z) sous la distribution normale standard. On repère la partie entière et le premier chiffre décimal de z dans la colonne de gauche, puis le deuxième chiffre décimal en ligne d'en-tête. La cellule à l'intersection donne la probabilité cherchée. Les valeur de z se lisent donc sur les ligne puis les colonne, la table elle contient des probabilités. Pour des probabilités à droite d'une valeur de z ou pour des valeur négative de z, on utilise les propriété de symétrie de la courbe.

La loi normale s'applique-t-elle à toutes les variables ?

Non. La loi normale n'est pas un modèle universel. Elle suppose que la distribution des données est symétrique et que les valeurs extrêmes sont rares. Des variables comme le revenu ou le temps de réaction sont souvent asymétriques et ne suivent donc pas une distribution normale. Il existe d'autres distributions. Avant d'appliquer la loi normale, il faut donc vérifier que la distribution observée est compatible avec ses hypothèses.

Quelle est la différence entre probabilité et fréquence ?

La fréquence représente le rapport entre un nombre d'événement particulier et le nombre d'événement total: elle décrit ce qui a été observé dans un échantillon. La probabilité quant à elle est une prédiction théorique: elle décrit ce que le modèle prédit pour une population. Utiliser la loi normale pour calculer une probabilité, c'est faire usage du modèle. Utiliser une fréquence c'est faire usage des observations. Cette distinction entre statistique descriptive et inférentielle est fondamentale.